Dinámica de Fluidos Geofísicos

class: center, middle
 
.title[Dinámica de Fluidos Geofísicos] 
.subtitle[Ondas Barotrópicas I (Kelvin y Poincaré)]
 
.author[Semestre 2024-I] 
.institution[Facultad de Ciencias] 
 
.date[26 de octubre de 2023] 
 
 <img style="width:100%" src="./figures/green_waves.png">

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name: toc
class: left
 <img style="width:40%" src="./figures/ink.jpg">

#Contenido

1. [Prguntas de repaso](#repaso)
1. [Restricciones del flujo a estudiar](#Restricciones)
1. [Ondas de Poincaré](#Poincare)
1. [Ondas de Kelvin](#Kelvin)

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layout: true .toc[[✧](#toc)]
 
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name: repaso
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## La clase pasada

hicimos un repaso de cinemática de ondas en 2D y discutimos la velocidad de fase, de grupo, vector número de onda, frecuencia, relación de dispersión, etc.

.center[<img style="width:50%" src="./figures/onda_2d.png">]

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name: restricciones
class: left

## Restricciones del flujo que estudiaremos

Queremos ecuaciones lineales por lo que debemos encontrar los procesos lineales dominantes y para ello hay que imponer algunas restricciones en el flujo.

**Términos de Coriolis** ($-fu$, $fv$) --> lineales $\checkmark$

**Cambio temporal** ($\partial u/\partial t$, $\partial v/\partial t$) --> lineales $\checkmark$
Los dejamos para investigar flujos no estacionarios, por lo que consideraremos
$$Ro_T=\frac{1}{\Omega T}\sim 1$$

**Términos advectivos** ($u\partial u/\partial x$,$v\partial u/\partial y$, ...) --> no lineales 
Para quitarlos, consideramos solo flujos con

$$Ro=\frac{U}{\Omega L}<<1.$$

Flujos lentos o de gran escala o que rotan rápido (en el laboratorio).
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class: left

De acuerdo a las restricciones anteriores queremos **flujos lentos pero que evolucionan relativamente rápido**. ¿Es eso posible?

¡Sí! Una perturbación que se mueve rápido no necesita de grandes velocidades en el flujo. La información puede viajar más rápido que las partículas materiales --> Esto es una ONDA.

Ej.

.center[<img style="width:60%" src="./figures/ripples-on-a-pond-3739.jpg">]
.center[.caption[Ondas en un estanque. Imagen: Vince Mig, dominio público.]]

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class: left

Además de las restricciones anteriores, consideraremos flujos homogéneos e invíscidos. Las **ecuaciones de aguas someras (EAS) linealizadas** describen adecuadamente a estos flujos:

$$\frac{\partial u}{\partial t}-fv=-g\frac{\partial \eta}{\partial x}$$
$$\frac{\partial v}{\partial t}+fu=-g\frac{\partial \eta}{\partial y},$$

donde $f$, $g$, $u$ y $v$ son las variables usuales y $\eta$ es el desplazameinto de la superfice ($\eta=h-H$, la profundidad total del fluido $h$ menos el grosor promedio de la capa $H$, $b$=0)

.center[<img style="width:40%" src="./figures/swe_diagram.png">]
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class: left
La ecuación de continuidad de las EAS de puede expandir en varios términos:

$$\frac{\partial \eta}{\partial t}+\left(u\frac{\partial \eta}{\partial x}+v\frac{\partial \eta}{\partial y}\right)+H\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\eta\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)=0.$$

Si el fondo es plano (H constante), introducimos la escala $\Delta H$ para $\eta$ y notamos que los cuatro términos anteriores son de órden

$$\frac{\Delta H}{T}, U\frac{\Delta H}{L}, H\frac{U}{L},  \Delta H\frac{U}{L}.$$

De acuerdo a las restricciones en $Ro$ y $Ro_T$, $L/T>>U$ y el 2do y 4to término son mucho menores que el 1ro y el 3ro, por lo que nos queda la ecuación linealizada de continuidad:

$$\frac{\partial \eta}{\partial t}+H\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)=0.$$

Este balance requiere que $\Delta H << H$ ---> **ondas de amplitud pequeña**.

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class: left

¿Qué ondas emergen en distintas situaciones en las EASL?

$$\frac{\partial u}{\partial t}-fv=-g\frac{\partial \eta}{\partial x},$$
$$\frac{\partial v}{\partial t}+fu=-g\frac{\partial \eta}{\partial y},$$
$$\frac{\partial \eta}{\partial t}+H\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial. y}\right)=0$$

**de Poincaré**: ondas de gravedad modificadas por la rotación,

**de Kelvin**: ondas de gravedad modificadas por la rotación cerca de una frontera,

**Planetarias** o **de Rossby**: ondas muuuy lentas cuando modificamos el parámetro de Coriolis,

**Topográficas**: ondas cuando relajamos la restricción del fondo plano.

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name: Poincare
class: left

## Ondas de gravedad con rotación

Consideremos $f$ constante (y ondas con frecuencia $ \omega < f$).

**Vamos a las notas...**

En las notas obtuvimos una relación de dispersión a partir de  considerar soluciones de onda para las EASL de la forma:

$$(u, v, \eta)=(\hat{u},\hat{v},\hat{\eta})e^{i(kx+ly-\omega t)}$$

donde $\hat{u}$, $\hat{v}$, $\hat{\eta}$ son amplitudes complejas y solo tomamos la parte real del lado derecho de la solución.

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class: left
### Relación de dispersión para ondas de Poincaré

* Ondas de gravedad modificadas por la rotación

$$\omega^2=f^2+gHK^2$$

donde $K=\sqrt{k^2+l^2}$ es la magnitud del vector número de onda horizontal.

.center[<img style="width:70%" src="./figures/dispersion_poincare.png">]

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class: left

**¿Qué nos dice la relación de dispersión acerca de estas ondas?**
* Las ondas se pueden propagar en cualquier dirección.
* Tienen frecuencia $\omega > f$
* En general son ondas dispersivas pues su velocidad de fase depende del numero de onda:

$$c=\frac{\omega}{K}=\frac{\sqrt{f^2+gHK^2}}{K}$$

* Pero, cuando $\omega >> f$ (frecuencias altas = periodos cortos), las ondas son no dispersivas:

$$c=\frac{\omega}{K}\approx\\sqrt{gH}.$$

Esta es la velocidad de las ondas de gravedad sin rotación. Es decir, **la rotación no afecta a las ondas de gravedad de alta frecuencia**.

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class: left

## Preguntas de repaso

Las ondas de Poincaré requeren de un medio estratificado para existir.

a) verdadero

b) falso

**respuesta: b**
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class: left

Las ondas de Poincaré:

a) se propagan con la costa a la derecha en el hemisferio norte.

b) siempre tienen frecuencia > $f$.

c) son dispersivas a frecuencias altas.

**respuesta: b**

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class: left

Cuando la frecuencia de una onda de Poincaré se acerca a f, las trayectorias de las partículas son:

a) circulares

b) elipticas

c) líneas rectas

d) espirales

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 **respuesta: a **
 
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name: Kelvin
class: left

## Ondas de gravedad con rotación cerca de una frontera sólida

Vamos a las notas...

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class: left

## Relación de dispersión

.center[<img style="width:80%" src="./figures/dispersion_kelvin_poincare.png">]
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class: left
 ### Algunas animaciones de ondas de Kelvin

Roberto Fontes - Kelvin wave hemisferio Sur

Perturbación gaussiana de la superficie libre: [animación](http://oxbow.sr.unh.edu/WaveMovies/3RossbyBump_KelvinSetup.mov) del [Profesor Jamie Pringle](http://oxbow.sr.unh.edu), University of New Hampshire

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class: left
## Referencias:

Cushman-Roisin y Beckers - Capítulo 9

Kundu y Cohen - Capítulo 14-10 al 14-15

.note[Notas creadas con [{Liminal}](https://github.com/jonathanlilly/liminal) usando [{Remark.js}](http://remarkjs.com/) + [{Markdown}](https://github.com/adam-p/markdown-here/wiki/Markdown-Cheatsheet) + [{KaTeX}](https://katex.org)]