DiplomadoMeteoro-Mod3-04

class: center, middle
 
.title[4 Conservación de momento SIN rotación] 
 
.author[Diplomado en Meteorología y Climatología] 
.institution[ICAyCC] 
 
.date[24 de febrero de 2023] 
 
 <img style="width:100%" src="./figures/green_waves.png"> 
 
 
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name: toc
class: left
 <img style="width:40%" src="./figures/ink.jpg">

#Contenido

1. [Revisitando descripciones euleriana y largangiana](#euler)
1. [Conservación de momento sin rotación](#momento)
    1. [Fuerzas que actúan sobre un fluido](#navier)
    1. [Gradiente de presión y esfuerzos turbulentos](#presion)
    1. [Aproximación hidrostática](#hidrostatica)
1. [Resumen de ecuaciones](#resumen)

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layout: true .toc[[✧](#toc)]

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name: euler
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## Euleriano vs lagrangiano

.left-column[* Lagrangiano: el sistema de referencia se mueve con la parcela de fluido (es decir X,Y,Z cambian en el tiempo)

* Euleriano: Sistema de referencia fijo (x, y, z no cambian en el tiempo)]

.right-column[<img style="width:100%" src="./figures/Stull_euleriano.png">

.caption[Advección en dirección $y$ de viento en $x$; $O$ es una estación meteorológica fija. La caja gris es una masa de aire dentro de la cual hay un gradiente de velocidad del viento en $x$, $U$. Figura 10.4 de [Stull, 2017](https://www.eoas.ubc.ca/books/Practical_Meteorology/prmet102/Ch10-forces_winds-v102b.pdf)]]
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class: left

El aire se mueve debido a las fuerzas que actúan sobre él. Las leyes de Newton describen como es que las fuerzas generan vientos (dinámica).

¿Recuerdan las leyes de Newton?

1 , 2, y 3

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class: center
<img style="width:60%" src="./figures/newtons_laws_daenna.jpg">

.caption[Imagen de [Daenna Gonzalez](https://issuu.com/daennagonzalez/docs/newton___s_laws_of_motion)]

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Expresión de la segunda ley de newton para un fluido $$F=d\vec{p}/dt\approx m\vec{a},$$

donde $\vec{p}=\vec{v}m$ es el momento, ímpetu o cantidad de movimiento.

6 fuerzas contribuyen a la aceleración neta horizontal del aire: gradiente de presión, adveccion, fuerza centrífuga, Coriolis, peso, disipación y fricción.

$$\frac{F\_{neta}}{m} = \frac{F\_{Adv}}{m}$$ $$+\frac{F\_{GP}}{m}+ \frac{F\_{centrifuga}}{m}+ \frac{F\_{Coriolis}}{m}+\frac{F\_{turb}}{m}+\frac{F\_{g}}{m}$$

En esta hora derivaremos las ecuaciones de momento para un fluido que no está en rotación y discutiremos en detalle el gradiente de presión.

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name: momento     
class: left
#  Ecuación de conservación de momento

Expresión de la segunda ley de newton para un fluido $$F=d\vec{p}/dt\approx m\vec{a}.$$

**Fuerzas en un fluido:**

* de cuerpo: Actúan directamente sobre la masa del elemento y se distribuyen sobre todo el volúmen. Ej. gravitacional, electromagnética (si el fluido es conductor). $$\vec{F}_{cuerpo} = m\vec{g} = \int_V dV\rho\vec g$$

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class: left
**Fuerzas en un fluido:**

* de superficie: Actúan sobre la superfice, son direccionales. Ej. presión, esfuerzos cortantes.

Tensor de esfuerzos: elementos en la diagonal, **presión**; fuera de la diagonal, **esfuerzos cortantes**

$$\vec{F}_{superficie}=\int_S[\sigma]\cdot\hat{n}dS$$.

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class: left
## Derivación consevación de momento

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class: left
## Ecuación de conservación de momento

$$\rho\frac{D\vec{u}}{Dt}=\rho \vec{g} + \nabla\cdot[\sigma]$$

Esta expresión es cierta para cualquier fluido. ¡La física está guardada en el tensor de esfuerzos!

**Relaciones constitutivas**

Los esfuerzos $[\sigma_{ij}]$ son una combinación de presión $p$ y fricción viscosa:

$$\sigma_{ii} = -p + \lambda \nabla \cdot \vec{v} + 2\mu\frac{\partial{u_i}}{\partial{x_i}}$$

$$\sigma_{ij} = \mu\Big(\frac{\partial u_i}{\partial{x_j}}+\frac{\partial u_j}{\partial{x_i}}\Big)$$

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class: left

**Relaciones constitutivas**

Los esfuerzos $[\sigma_{ij}]$ son una combinación de presión $p$ y fricción viscosa:

$$\sigma_{ii} = -p + \lambda \nabla \cdot \vec{v} + 2\mu\frac{\partial{u_i}}{\partial{x_i}}$$

$$\sigma_{ij} = \mu\Big(\frac{\partial u_i}{\partial{x_j}}+\frac{\partial u_j}{\partial{x_i}}\Big)$$

$\lambda$ y $\mu$ son los coeficientes de viscosidad dinámica y estática, respectivamente.

ASUMIENDO que la **relación entre esfuerzo y gradientes de velocidad es lineal** (fluido Newtoniano) e **isotrópica** (las propiedades intrínsecas del fluido no tienen dirección preferencial).

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name: navier     
class: left
#  Ecuación de Navier-Stokes
Si el flujo es incompresible, $\nabla\cdot\vec{v}=0$. Las ecuaciones constitutivas se simplifican:
$$\sigma\_{ij} = -p \delta\_{ij} + \mu\Big(\frac{\partial u\_i}{\partial x\_j}+\frac{\partial u\_j}{\partial x\_i}\Big)$$

($\delta\_{ij}=1$ si $i=j$, $\delta\_{ij}=0$ si $i\ne j$ ).

Ahora podemos sustituir estas expresiones para las fuerzas superficiales en la ecuación de momento para obtener las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes.

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class: left
## Ecuaciones de Navier-Stokes
Para los vectores $\vec{u} = (u,v,w)$, $\vec{x}=(x,y,z)$, $\vec{g}=(g_x, g_y, g_z)$,

Continuidad:
$$0 = \frac{\partial u}{\partial x}+ \frac{\partial v}{\partial y}+ \frac{\partial w}{\partial z}$$

Momento:
$$\rho\frac{Du}{Dt}=\rho g_x-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\Big(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\Big)$$
$$\rho\frac{Dv}{Dt}=\rho g_y-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu\Big(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\Big)$$
$$\rho\frac{Dw}{Dt}=\rho g_z-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\Big(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\Big)$$

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name: hidrostatica     
class: left
#  Aproximación hidrostática
Primero, las componentes horizontales del vector gravedad son despreciables $\vec{g}\approx(0, 0, -g)$,

Momento:
$$\rho\frac{Du}{Dt}=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\Big(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\Big)$$
$$\rho\frac{Dv}{Dt}=-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu\Big(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\Big)$$
$$\boxed{\rho\frac{Dw}{Dt}=-\rho g-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\Big(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\Big)}$$

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class: left
Cuando las escalas horizontales son mucho mayores que la vertical, la aceleración vertical $Dw/Dt$ es mucho menor que la aceleración gravitacional $g$, además las fuerzas viscosas son relativamente pequeñas:

$$\cancel{\rho\frac{Dw}{Dt}}=-\rho g-\frac{\partial p}{\partial z}+\cancel{\mu\Big(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\Big)}$$

El gradiente de presión compensa el peso (balance hidrostático):

$$\rho g \approx \frac{\partial p}{\partial z}.$$

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class: left

Para un flujo de densidad constante y superficie libre:
<img style="width:60%" src="./figures/hidrostatica.png">

Integrando la ecuación anterior en la columna de fluido obtenemos que la presión en cualquier punto depende únicamente de la altura de la superficie libre $h(x,y)$:

$$p(x,y) = p\_{atm}+ \rho g (z-h(x,y))$$

¡Esto nos ahorra muchos cálculos en los modelos!

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name: resumen   
class: left
##  Resumen de ecuaciones (incompresibles)
 
Continuidad:
$$0 = \frac{\partial u}{\partial x}+ \frac{\partial v}{\partial y}+ \frac{\partial w}{\partial z}$$

Momento:
$$\rho\frac{Du}{Dt}=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\Big(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\Big)$$
$$\rho\frac{Dv}{Dt}=-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu\Big(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\Big)$$
$$\rho\frac{Dw}{Dt}=-\rho g-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\Big(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\Big)$$

Aproximación hidrostática:
$$\rho g \approx \frac{\partial p}{\partial z}$$.

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class: left
## Gradientes de presión en la atmósfera

.left-column[
Horizontales:

$$\frac{F\_{GPx}}{m}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x}\approx \frac{1}{\rho}\frac{\Delta P}{\Delta x}$$
$$\frac{F\_{GPy}}{m}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial y}\approx \frac{1}{\rho}\frac{\Delta P}{\Delta y}$$]

.right-column[<img style="width:100%" src="./figures/press_grad.png">

.caption[La fuerza debida al gradiente de presión apunta de alta presión a baja presión (al revés que el gradiente mismo). Figura 10.5 de [Stull (2017)](https://www.eoas.ubc.ca/books/Practical_Meteorology/prmet102/Ch10-forces_winds-v102b.pdf).]]

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class: center
<img style="width:100%" src="./figures/pacific-ocean-surface-pressure-july-2020.png-nggid0518241-ngg0dyn-700x700x100-00f0w010c010r110f110r010t010.png">
.caption[Presión atmosférica promedio en superficie para julio 2020, Océano Pacífico.Imagen de pivotal weather, retomada de [severe-weather.eu](https://www.severe-weather.eu/global-weather/pacific-ocean-heatwave-disruption-fa/)]

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class: center
Flechas negras: $\vec{F\_{GP}}$ horizontal (ejemplos en algunos puntos)
<img style="width:100%" src="./figures/pacific-ocean-surface-pressure-july-2020_annot.png">
.caption[Presión atmosférica promedio en superficie para julio 2020, Océano Pacífico.Imagen de pivotal weather, retomada de [severe-weather.eu](https://www.severe-weather.eu/global-weather/pacific-ocean-heatwave-disruption-fa/)]

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class: center

.left-column[<img style="width:100%" src="./figures/guatemala_candelaria.png">]

.right-column[Candelaria, Campeche está, más o menos, a 400 km al norte de la ciudad de Guatemala. Si la presión en Candelaria es 101 kPa y en Guatemala es 100 kPa, ¿Cuál es la fuerza (por unidad de masa) debida al gradiente de presión y en qué dirección apunta? Toma $\rho=1.1$ kg$~$m$^{-1}$]

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Solución:
$$\frac{F\_{PGy}}{m} \approx -\frac{1}{\rho}\frac{\Delta P}{\Delta y}$$
$$ = -\frac{1}{1.1 \textrm{ kg m}^{-1}}\frac{101000-100000 \textrm{ Pa}}{400000-0 \textrm{ m}}$$
$$=–2.27\times10^{–3} \textrm{m s}^{–2}.$$
La fuerza apunta de presión alta a baja, entonces de norte a sur (Corroboramos con el signo).

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class: left
# Referencias

.caption[
Esta presentación está basada en las notas de clase de Prof. Stephanie Waterman (UBC) y Prof. Suzanne Fielding (Durham).]

.caption[y en el capítulo 10 de [Stull (2017)](https://www.eoas.ubc.ca/books/Practical_Meteorology/prmet102/Ch10-forces_winds-v102b.pdf).]
 
.caption[
Bibliografía adicional:
 P. K. Kundu y I. M.Cohen (2004) Fluid Mechanics, 3ra ed. Elsevier.]

.caption[Imágenes tomadas de Graham Richardson en flickr] .caption[(tinta azul), latintimes.com (Popocatépetl), learncax.com (elemento de fluido), wikicommons (afloramiento en Isla de Vancouver)]
.caption[Lagrangian Drifter Lab SRIPPS (drifter), https://kinoshita.eti.br/2016/07/12/ (globo meteorológico), mayo05 getty images (anemómetro), Figura 1 en Bailey et al. (2019) Coastal Mooring Observing Networks and Their Data Products: Recommendations for the Next Decade (https://doi.org/10.3389/fmars.2019.00180) (esquemas anclajes costeros)]